2009/01/06/baba：ご意見、ご質問はjinn@mue.biglobe.ne.jpまで。
3次元回転変換とオイラー角
剛体の3次元空間における姿勢(orientation)を指定するする方法の一つとして、剛体に固定された座標軸の各軸まわりに適当な回転を与える方法がある。この各軸まわりの角度のことをオイラー角という。
オイラー角には、回転軸の取り方と順序により以下の12種類に分類することができる。
1-1 X0→Y1→Z2（回転後基底ベクトルを回転前基底ベクトルで表現）
1-2 X0→Y1→Z2（回転前基底ベクトルを回転後基底ベクトルで表現）
2-1 X0→Z1→Y2（回転後基底ベクトルを回転前基底ベクトルで表現）
2-2 X0→Z1→Y2（回転前基底ベクトルを回転後基底ベクトルで表現）
3-1 Y0→X1→Z2（回転後基底ベクトルを回転前基底ベクトルで表現）
3-2 Y0→X1→Z2（回転前基底ベクトルを回転後基底ベクトルで表現）
4-1 Y0→Z1→X2（回転後基底ベクトルを回転前基底ベクトルで表現）
4-2 Y0→Z1→X2（回転前基底ベクトルを回転後基底ベクトルで表現）
5-1 Z0→X1→Y2（回転後基底ベクトルを回転前基底ベクトルで表現）
5-2 Z0→X1→Y2（回転前基底ベクトルを回転後基底ベクトルで表現）
6-1 Z0→Y1→X2（回転後基底ベクトルを回転前基底ベクトルで表現）
6-2 Z0→Y1→X2（回転前基底ベクトルを回転後基底ベクトルで表現）
7-1 X0→Y1→X2（回転後基底ベクトルを回転前基底ベクトルで表現）
7-2 X0→Y1→X2（回転前基底ベクトルを回転後基底ベクトルで表現）
8-1 X0→Z1→X2（回転後基底ベクトルを回転前基底ベクトルで表現）
8-2 X0→Z1→X2（回転前基底ベクトルを回転後基底ベクトルで表現）
9-1 Y0→X1→Y2（回転後基底ベクトルを回転前基底ベクトルで表現）
9-2 Y0→X1→Y2（回転前基底ベクトルを回転後基底ベクトルで表現）
10-1 Y0→Z1→Y2（回転後基底ベクトルを回転前基底ベクトルで表現）
10-2 Y0→Z1→Y2（回転前基底ベクトルを回転後基底ベクトルで表現）
11-1 Z0→X1→Z2（回転後基底ベクトルを回転前基底ベクトルで表現）
11-2 Z0→X1→Z2（回転前基底ベクトルを回転後基底ベクトルで表現）
12-1 Z0→Y1→Z2（回転後基底ベクトルを回転前基底ベクトルで表現）
12-2 Z0→Y1→Z2（回転前基底ベクトルを回転後基底ベクトルで表現）
Z0 Z0 ①
②
③
X0, X1 Y0 Z1 Z2,Z3 X2 Y1 ,Y2 X3 Y3 X0, X1 Y0 Z0 Y1 ,Y2 Z1 Z2 X2 X0, X1 Y0 Y1 Z1
図１：X0→Y1→Z2オイラー
(1)X0軸まわりにα (2)Y1軸まわりにβ (3)Z2軸まわりにγ
Y1 β β X1 Z1 X2 Z2 cosβ sinβ cosβ －sinβ sinφ γ γ X2 Y2 X3 Y3 cosγ sinγ cosγ －sinγ sinφ Z0 X0→X1 α α Y0 Z0 Y1 Z1 cosα sinα cosα －sinα sinφ
各軸の単位ベクトルを小文字で表し、回転後の単位ベクトルを回転前の単位ベクトルで表すと、
まず、(1)の回転について、
これを、行列で表現すると、
同様に、(2)の回転について求める。
これを、行列で表現すると、
同様に、(3)の回転について求める。
これを、行列で表現すると、
(1.1.3)に(1.1.2)を代入し、さらに、(1.1.1)を代入すると、
参考図書１に示されている式に合わせるために、α→θ、β→ψ、γ→φと置き換えると、
参考図書1では、上記式の赤色で示した部分がcosとなっているが、おそらくミスプリと思われる。念のため検算する。3つの行列の掛け算を頭から行うと、
やはり、参考図書１のミスプリと思われる。
を
とおき、
とおくと、
より、
ここでcosβが0になると、つまりβ=±90°のとき、α、γは求められないことに注意すること。
なお、Rは次項の3次元回転変換で示す行列Aのことである。
また、上では、回転後の基底ベクトルを回転前の基底ベクトルで表したが、逆に回転前の基底ベクトルを回転後の基底ベクトルで表現した場合の回転行列を考える。
(1)X0軸まわりにα (2)Y1軸まわりにβ (3)Z2軸まわりにγ
Y1 Z2 Y1→Y2 β β X1 Z1 X2 cosβ sinβ cosβ －sinβ sinφ X0→X1 α α Y0 Z0 Z1 cosα sinα cosα －sinα sinφ Y3 Z2→Z3 γ γ X2 Y2 X3 cosγ sinγ cosγ －sinγ sinφ
まず、(1)の回転(X0)について、
これを、行列で表現すると、
同様に、(2)の回転(Y1)について求める。
これを、行列で表現すると、
同様に、(3)の回転(Z2)について求める。
これを、行列で表現すると、
(1.1.4)に(1.1.5)を代入し、さらに、(1.1.6)を代入すると、