1. 無料アクセス解析

2008/12/19/baba：ご意見、ご質問はjinn@mue.biglobe.ne.jpまで。

 

回転座標系の角速度ベクトル

空間に直交座標系O-xyzを固定する。その単位直交ベクトルをとする。原点Oの周りに回転するもう一つの直交座標系をO-x’y’z’を考える(図4-6)。

unit_vector_differential.jpg

O-x’y’z’の単位直交ベクトルをとする。O-x’y’z’は回転しているので、は時間ｔの関数であることに注意しよう。

                                          (4.30)

時間tとt+⊿tでの単位直交ベクトルには

                        (4.31)

の関係がある。Aは3行3列の直交行列である。(4.31)より、⊿t=0 ならば、A＝Iであるから、小さい⊿tに対して展開して、

                                    (4.32)

が成り立つ。ところが行列Aは直交行列であるから、小さい⊿tに対して

すなわち、行列Bは交代行列BT=‐Bであることがわかる。また、(4.31)と(4.32)より、

　

 

 

であることがわかる。交代行列Bを

           

とおく。このω1,ω2,ω3を成分とするベクトル

             

を回転座標系O-x’y’z’の角速度ベクトルという。

             

を上式に掛けると

             

             

を上式に掛けると

             

             

を上式に掛けると

             

ω1,ω2,ω3はそれぞれ、ローカル座標系 の各軸回りの角速度をあらわしている。

ローカル座標系つまりセグメントに設定された座標系の各軸まわりの角速度は、ローカル座標系の各軸の単位ベクトルと単位ベクトルの微分値のスカラー積（内積）で求めることができる。

　ここで注意する点は、ω1,ω2,ω3　はローカル座標系に対しての値であり、静止座標系（グローバル座標系）で式を立てているときは、座標変換が必要になることです。

 

参考図書：物理のための数学、和達三樹著、岩波書店,p107,108

テキスト ボックス: (d(i^' ) ⃗)/dt=ω ⃗×(i^' ) ⃗, (d(j^' ) ⃗)/dt=ω ⃗×(j^',) ⃗ (d(k^' ) ⃗)/dt=ω ⃗×(k^' ) ⃗ ω=ω_1 (i^' ) ⃗+ω_2 (j^' ) ⃗+ω_3 (k^' ) ⃗ から、 ω_1=(k^' ) ⃗∙(d(j^' ) ⃗)/dt, ω_2=(i^' ) ⃗∙(d(k^' ) ⃗)/dt, ω_3=(j^' ) ⃗∙(d(i^' ) ⃗)/dt を示す。

（解）

　ベクトルの公式を用いる。

参考図書：物理のための数学、和達三樹著、岩波書店,p110,254